【题解】NOI2009二叉查找树 + NOIP2003加分二叉树

　　自己的思维能力果然还是太不够……想到了这棵树所有的性质即中序遍历不变，却并没有想到怎样利用这一点。在想这道题的过程中走入了诸多的误区，在这里想记录一下 & 从中吸取到的教训（原该可以避免的吧）。

　　1. 注意到了中序遍历不变的性质却不会使用。

　　2. 注意到只有相对大小才会影响树的形态，在考虑的时候一直在想如何改变一个数的位置关系，分析修改权值对于树产生的影响。但这样是很难分析的，将树看作一个整体也不利于dp状态的划分。

　　3. 想不出怎样计算一个节点的深度（不能快速找到一个节点所处的位置）。

　　正确的思维应当是：

　　1.中序遍历不变 ---> 数值排名位于 [l, r] 这个区间中的所有树必然可能同在一棵子树中（且这棵子树中不含其他的节点）；

　　2.不好计算一个节点插入的深度 / 不好修改一个数在子树中的位置：改修改为插入。整棵子树中，唯一一个容易确定位置的节点：若这个节点是当前子树中权值最小的，则这个节点为子树的根，其余所有节点的深度 ++；

　　于是正确的 dp 状态就出来了。\(dp[l][r][v]\) 表示 \(l\) 到 \(r\) 的区间所有节点 \( >= v \) 的最小代价。转移方程分别为两种：修改该节点权值 & 不修改该节点权值。

　　　　\(dp[l][r][v] = dp[l][k - 1][v] + dp[k + 1][r][v] + K + sum[l][r];\)

　　　　\(dp[l][r][v] = dp[l][k - 1][P[i].v] + dp[k + 1][r][P[i].v] + sum[l][r];\)

　　其中，第二个转移方程中要求 \(P[i].v >= v\)，\(P[i].v\) 是节点原本的权值，\(sum[l][r]\) 为区间 \(l -> r\) 的访问频率。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100
#define int long long
#define INF 999999999999LL
int n, K, sum[maxn];
int ans = INF, dp[maxn][maxn][maxn];

struct node
{
    int num, v, w;
}P[maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

bool cmp(node a, node b) { return a.v < b.v; }
bool cmp1(node a, node b) { return a.num < b.num; }
void gmin(int &x, int y) { x = x < y ? x : y; }

int dfs(int l, int r, int v)
{
    if(~dp[l][r][v]) return dp[l][r][v];
    else dp[l][r][v] = INF;
    if(l > r) return dp[l][r][v] = 0;
    for(int k = l; k <= r; k ++) 
    {
        gmin(dp[l][r][v], dfs(l, k - 1, v) + dfs(k + 1, r, v) + K + sum[r] - sum[l - 1]);
        if(P[k].v >= v) gmin(dp[l][r][v], dfs(l, k - 1, P[k].v) + dfs(k + 1, r, P[k].v) + sum[r] - sum[l - 1]);
    }
    return dp[l][r][v];
}

signed main()
{
    n = read(), K = read();
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= n; i ++) P[i].num = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) P[i].v = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) P[i].w = read();
    sort(P + 1, P + 1 + n, cmp);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) P[i].v = i;
    sort(P + 1, P + 1 + n, cmp1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] += sum[i - 1] + P[i].w;
    ans = min(ans, dfs(1, n, 1));
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
} 

 　　2. 加分二叉树

　　双倍经验……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 40
#define int long long 
int n, a[maxn];
int f[maxn][maxn], dp[maxn][maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

int dfs(int l, int r)
{
    if(dp[l][r]) return dp[l][r];
    if(l > r) return dp[l][r] = 1;
    if(l == r) return  f[l][r] = l, dp[l][r] = a[l];
    for(int k = l; k <= r; k ++)
    {
        int x = dfs(l, k - 1), y = dfs(k + 1, r);
        if(dp[l][r] < x * y + a[k])
        {
            dp[l][r] = x * y + a[k];
            f[l][r] = k; 
        }
    }
    return dp[l][r];
}

void Get_ans(int l, int r)
{
    if(l > r) return;
    printf("%lld ", f[l][r]);
    Get_ans(l, f[l][r] - 1), Get_ans(f[l][r] + 1, r);
}

signed main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read(); 
    printf("%lld\n", dfs(1, n));
    Get_ans(1, n); puts("");
    return 0;
}